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引潮力应用计算

上篇:日月引潮力探究 讲述了引潮力原理,此篇再次简要说明并着重于计算。

引潮力原理

任意双星稳定系统(稳定是指运行轨道相对稳定,不明显变化,如地月系统),各星球绕两者的质量中心运行。根据万有引力公式,两者之间的引力为:

$$ F = G\frac{M_AM_B}{r^2} $$

其中G为引力常数,为$6.67259\times10^{-11}\mbox{N}\cdot\mbox{m^2}\cdot\mbox{kg}^{-2}$,$M_A, M_B$分别为两个星球的质量,r为AB两星质心距离。在A星质心处,向心力由B星提供,B星的万有引力与A星质点处的惯性离心力相互抵消,且A星上任意一点处受到的惯性离心力大小方向都和质心处相同。因此,A星上任意一处单位质量(下文均使用单位质量)受到的惯性离心力$\overrightarrow{f}$与质心处受到的引力相等。

$$ \overrightarrow{f} = G\frac{M_B}{r^3}\overrightarrow{r} $$

设A星上任一点到B星质心距离为$d$,那么该点受到的B星对它的万有引力$\overrightarrow{g}$为

$$ \overrightarrow{g} = G\frac{M_B}{d^3}\overrightarrow{d} $$

该点受到的引潮力,为惯性离心力和万有引力的合力

$$ \overrightarrow{F} = \overrightarrow{f}+\overrightarrow{g} $$

地月系下引潮力计算

以地月系为例,讨论引潮力的计算:
QQ截图20210415113931.png
A为地球,C为月球,r为地月质心距离,B为地月质心连线在地表的交点,称为月下点,R为地球直径。$\alpha$ 为点P、地球质心与月下点的夹角。因引潮力沿地月质心连线轴对称分布,因此可用$\alpha$表示点P位置,$\alpha \in [0,\pi]$。

引潮力大小

首先惯性离心力为月球对地球质心的单位质量的万有引力,方向为从月质心指向地质心,大小为。

$$ f = G\frac{M_m}{r^2} $$

其垂直分量与水平分量分别为:

$$ f_h = -G\frac{M_m}{r^2}\sin\alpha\\ f_v = -G\frac{M_m}{r^2}\cos\alpha $$

符号为定义力的方向,垂直分量以向上为正,水平分量以沿球面指向月下点方向为正。

点P到月质心的距离d,通过余弦定理得$d^2=r^2+R^2-2Rr\cos\alpha$,则月球对点P处引力大小为:

$$ g = G\frac{M_m}{d^2}=G\frac{M_m}{r^2+R^2+2Rr\cos\alpha} $$

根据正弦定理和余弦定律,得

$$ \begin{align} &\sin\beta=\frac{r\sin\alpha}{d}\\ &\cos\beta=\frac{d^2+R^2-r^2}{2dR} \end{align} $$

因此,引力的垂直分量和水平分量为:

$$ \begin{align} &g_h = G\frac{M_m}{d^2}\sin\beta =G\frac{M_mr\sin\alpha}{d^3} \\ &g_v = -G\frac{M_m}{d^2}\cos\beta =-G\frac{M_m(d^2+R^2-r^2)}{2d^3R} \end{align} $$

所以,引潮力的垂直分量和水平分量为:

$$ \begin{align} &F_h = f_h+g_h=GM_m\sin\alpha\left(\frac{r}{d^3}-\frac{1}{r^2}\right)\\ &F_v = f_v+g_v = -GM\left(\frac{d^2+R^2-r^2}{2d^3R}+\frac{\cos\alpha}{r^2}\right) \end{align} $$

至此,计算引潮力大小的公式已给出,只需要知道$\alpha, R, r, M_m$ 即可计算引潮力。下面给出$\alpha$和引潮力方向的计算。

引潮力方向

首先需要计算点P与月下点的夹角$\alpha$,使用两点间球心角公式:

$$ \alpha = \cos\varphi\cos\varphi_m\cos(\lambda-\lambda_m)+\sin\varphi\sin\varphi_m $$

其中$\varphi$为点P纬度,$\lambda$为点P经度;$\varphi_m,\lambda_m$分别为月下点的纬度和经度。

下一步是判断引潮力方向,垂直引潮力正值为上,负值为下;水平引潮力则正值指向月下点,负值指向地月质心连线与地表相交的远点,即与月下点地心对称的点。水平引潮力的方向,使用方位角表示,即0°为北、90°为东、180°为南、270°为西,因此需要计算月下点(或其对称点)对于点P的方位角。
方位角计算公式引自Calculate distance, bearing and more between Latitude/Longitude points,方位角$\theta$为:

$$ \theta = \mbox{atan2}(\sin(\lambda-\lambda_m)\cdot\cos\varphi_m , \cos\varphi\cdot\sin\varphi_m − \sin\varphi\cdot\cos\varphi_m\cdot\cos(\lambda-\lambda_m)) $$

其中atan2为计算方位角的函数。

地月、地日双系统下的引潮力

地日系的引潮力与地月系相同,计算得到月球与太阳的引潮力后,两者相加即得到日月共同形成影响的引潮力。
垂直方向上,直击相加即可;水平方向上,因为日月两个水平引潮力方向不同,需要进行力的合成计算。
以下是Python程序示例,输入日下点、月下点、地表点的经纬度和日月距离(天文单位),返回该情况下的瞬时垂直、水平引潮力和方向,需注意角度和弧度的转换

import numpy as np
def tidal_force(sun_lon, sun_lat, moon_lon, moon_lat, lon, lat, sun_r, moon_r):
    R = 6378137  # m
    moon_m = 7.349e22  # kg
    sun_m = 1.9891e30
    G = 6.67259e-11
    au = 149597870700

    sun_lon = sun_lon * np.pi / 180
    sun_lat = sun_lat * np.pi / 180
    moon_lon = moon_lon * np.pi / 180
    moon_lat = moon_lat * np.pi / 180
    lon = lon * np.pi / 180
    lat = lat * np.pi / 180
    sun_r = sun_r * au
    moon_r = moon_r * au

    # 月引潮力
    alpha = np.arccos(np.cos(moon_lat) * np.cos(lat) * np.cos(moon_lon - lon) + np.sin(moon_lat) * np.sin(lat))
    dd = moon_r ** 2 + R ** 2 - 2 * R * moon_r * np.cos(alpha)
    d = np.sqrt(dd)
    fh_moon = G * moon_m * np.sin(alpha) * (
                1 / (moon_r + R ** 2 / moon_r - 2 * R * np.cos(alpha)) * (1 / d) - (1 / moon_r ** 2))
    fv_moon = -G * moon_m * (((dd + R ** 2 - moon_r ** 2) / (2 * d * R)) * (
                1 / (moon_r ** 2 + R ** 2 - 2 * R * moon_r * np.cos(alpha))) +
                             np.cos(alpha) / moon_r ** 2)
    # 月水平引潮力方位角
    if fh_moon < 0:
        moon_lon = (moon_lon + np.pi) % (2 * np.pi)
        moon_lat *= -1
    theta_moon = np.arctan2(np.sin(moon_lon - lon) * np.cos(moon_lat), np.cos(lat) * np.sin(moon_lat) - np.sin(lat) *
                            np.cos(moon_lat) * np.cos(moon_lon - lon))
    theta_moon = (theta_moon * 180 / np.pi + 360) % 360

    # 日引潮力
    alpha = np.arccos(np.cos(sun_lat) * np.cos(lat) * np.cos(sun_lon - lon) + np.sin(sun_lat) * np.sin(lat))
    dd = sun_r ** 2 + R ** 2 - 2 * R * sun_r * np.cos(alpha)
    d = np.sqrt(dd)
    fh_sun = G * sun_m * np.sin(alpha) * (
            1 / (sun_r + R ** 2 / sun_r - 2 * R * np.cos(alpha)) * (1 / d) - (1 / sun_r ** 2))
    fv_sun = -G * sun_m * (((dd + R ** 2 - sun_r ** 2) / (2 * d * R)) * (
            1 / (sun_r ** 2 + R ** 2 - 2 * R * sun_r * np.cos(alpha))) +
                           np.cos(alpha) / sun_r ** 2)
    # 日水平引潮力方位角
    if fh_sun < 0:
        sun_lon = (sun_lon + np.pi) % (2 * np.pi)
        sun_lat *= -1
    theta_sun = np.arctan2(np.sin(sun_lon - lon) * np.cos(sun_lat), np.cos(lat) * np.sin(sun_lat) - np.sin(lat) *
                           np.cos(sun_lat) * np.cos(sun_lon - lon))
    theta_sun = (theta_sun * 180 / np.pi + 360) % 360
    
    # 力合成
    fv = fv_sun + fv_moon
    x = fh_sun * np.sin(theta_sun * np.pi / 180) + fh_moon * np.sin(theta_moon * np.pi / 180)
    y = fh_sun * np.cos(theta_sun * np.pi / 180) + fh_moon * np.cos(theta_moon * np.pi / 180)
    fh = np.sqrt(x ** 2 + y ** 2)
    theta = np.angle(np.complex64(x) + np.complex64(y) * np.complex64(1j), deg=True)
    if 0 <= theta <= 90:
        theta = 90 - theta
    elif theta < 0:
        theta = 90 - theta
    else:
        theta = 360 - (theta - 90)
    return fv, fh, theta

模型检验

根据上面给出的程序,画出大潮(日下点0E, 0N、月下点0E, 0N)和小潮(日下点0E, 0N、月下点90E, 0N)时,赤道上不同经度引潮力情况:
QQ截图20210415134945.png

图中蓝色线为大潮、红色线为小潮,数值变化符合预期,数量级也符合预期。

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作者: Lilidream

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已有 4 条评论

  1. loping151 loping151

    你好!关于您的文章引潮力的应用计算,为什么说 A星上任意一点处受到的惯性离心力大小方向都和质心处相同 。因为地月的质心和角速度都是容易求得的,地球上物体离心力为什么不是地月质心指向物体的m omiga^2 r,r为到质心距离

    1. 需要把公转与自转拆开考虑。不考虑地球自转,地表上物体绕地月质心进行圆周运动的半径是与地球上任一点相同的,这里的关键是不要想着地球自转,可以认为是地球绕地月质点以圆形平移。地球自转所产生的离心力可包含到地球重力中抵消,因此可以不包含到引潮力计算中。

  2. 白凌哲 白凌哲

    您好!感谢您的文章。我也有类似的疑问:在实际计算时,地球是不可忽略其尺度的球体,以极轴为自转轴自转的,各点的离心力应该是不同的吧?另外,地月公共质心是变动的,如果地球自转是以公共质心为旋转中心,这个运动的坐标系不是惯性系,该如何分析?

    1. 您好,文中提到的各点离心力相同,是指绕地月公共质心运动的离心力,并非自转的离心力,自转对引潮力无作用。地球自转不是以公共质心为中心,而是地轴;自转与围绕公共质心旋转是两个不同的运动。

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