天下学问,惟夜航船中最难对付。

日月引潮力探究

引潮力

以月球为例,引潮力是指地球上物体受到的月球的引力与地球绕地月质心旋转的惯性离心力合力。

地月系统围绕地月质心旋转,周期为月球的公转周期27.32天,此处的旋转,并不是自旋,而是平动。地月质心在距地心约4671km处,在地表之下,质心位于地心与月心连线上。

惯性离心力

假设地球不自转。如图,黑色圆表示地球,点A表示球心,点C表示地月质心,射线AC为地心月心连线。经过一段时间后,地球绕地月质心平移旋转至蓝色圆处,球心从A运动至A1,路径为 $\overset{\frown}{AA_1}$ ,运动圆心为C;地球上一点B移动至B1,路径为 $\overset{\frown}{BB_1}$ ,运动圆心为C1。显然,点A与点B的圆周运动半径、速度是相同的,只是圆心位置不同,因此地球上任一点所受到的惯性离心力大小方向都是相同的,指向地心月心连线与月球相反的方向。

单位质量物体,在地心处所受到的向心力,等于月球对其的引力,这种引力维系着地月系绕地月质心旋转。以地球为参考系,在地心处月球引力与惯性离心力相平衡。因此,地球上任一点受到的惯性离心力,其大小均与月球对地心处引力相等。令 $F$ 表示单位质量物体的惯性离心力,有:

$$ F = G\frac{M_m}{r_{e,m}^2} $$

其中 $G$ 为引力常量, $M_m$ 为月球质量,$r_{e,m}$ 为地心月心距离。

月球引力

由于惯性离心力为常量,而月球对地球某一点的引力场分布,是沿地心月心连线轴对称的。因此,如图,点 $O$ 为地心,$O'$ 为月心;以目标点 $P$ 与月下点 $C$(地月连线在地表的交点)的夹角 $\alpha$ 来表示目标点位置。

以 $\overrightarrow{F}$ 表示惯性离心力,以 $\overrightarrow{Y}$ 表示月球引力,两者的合力为 $\overrightarrow{T}$ ,即引潮力。点 $P$ 到月心 $O'$ 的距离 $r$ ,可通过余弦定理得到:

$$ r^2 = R^2+r_{e,m}^2-2Rr_{e,m}\cos\alpha $$

式中 $R$ 为地球半径。因此,月球对点 $P$ 处的万有引力大小为:

$$ Y = G\frac{M_m}{r^2}=G\frac{M_m}{R^2+r_{e,m}^2-2Rr_{e,m}\cos\alpha} $$

引潮力的垂直分量

引潮力的垂直分量,即惯性离心力与月球引力的垂直分量之和。

图中,为了使图示清晰,大大缩短了地月距离的比例。

以 $\alpha < \frac{\pi}{2}$ 时为例,惯性离心力的垂直分量 $F_v$ 为:

$$ F_v = -|\overrightarrow{F}|\cos\alpha $$

月球引力的垂直分量 $Y_v$ 为:

$$ Y_v=|\overrightarrow{Y}|\sin\beta $$

其中:

$$ \begin{align} \beta &= \angle OAO'-\frac{\pi}{2}=\pi-\arcsin\frac{r_{e,m}\sin\alpha}{r}-\frac{\pi}{2}\\ &=\frac{\pi}{2}-\arcsin\frac{r_{e,m}\sin\alpha}{\sqrt{R^2+r_{e,m}^2-2Rr_{e,m}\cos\alpha}} \end{align} $$

显然,随着 $\alpha$ 增加至 $AO$ 与圆相切后, $\beta < 0$ 。

当 $\alpha\in[0,\frac{\pi}{2}]$ 时,使用程序计算 $F_v,Y_v$ 和 $T_v=F_v+Y_v$ :

可见垂直方向引潮力 $T_v$ 有零点。使 $\alpha$ 扩展至 $[0,\pi]$ ,注意 $\alpha > \arccos R/r_{m,e}$ 时,也即 $AO'$ 与圆相切后,需把 $\beta$ 反转。

如图,$T_v$ 有两个零点,但不关于 $\frac{\pi}{2}$ 对称。第一个零点为 $\alpha_1\approx0.94858\mbox{rad}=54.35\deg$ ,第二个零点为 $\alpha_2\approx2.179489\mbox{rad}=124.88\deg=(180-55.12)\deg$。近月端的引潮力比远月端稍大。

引潮力的水平分量

同理,得到引潮力的水平分量,以逆时针方向为正,有:

$$ F_h =|\overrightarrow{F}|\sin\alpha\\ Y_h=-|\overrightarrow{Y}|\cos\beta\\ T_h = F_h+Y_h $$

可见,水平引潮力有三个零点,分别是 $\alpha_1=0,\alpha_2=\pi$ 和约相切时的$\alpha$ 。

引潮力的分布

设月球位于X轴右端,使用程序绘制引潮力矢量分布图:

太阳的引潮力

太阳的引潮原理与月球相同,月球引潮力大小约是太阳的2.2倍。当望或朔时,日月引潮力叠加,形成天文大潮。

部分制图代码

引潮力分布图代码:

Me = 5.965e24  # kg
R = 6378137.0  # m
Mm = 7.349e22  # kg
rm = 384403900  # m
G = 6.67259e-11
alpha = np.linspace(0,2*np.pi,101)
x = np.cos(alpha)
y = np.sin(alpha)

F = [-G*Mm/rm**2,0]
r = np.sqrt(R**2+rm**2-2*R*rm*np.cos(alpha))
d = rm - np.cos(alpha) * R
f_size = G*Mm/r**2
f = [f_size * (d/r), -f_size * (R*np.sin(alpha)/r)]

u = []
v = []

for i in range(len(alpha)):
    u.append(F[0]+f[0][i])
    v.append(F[1]+f[1][i])

plt.figure(figsize=(8,8))
plt.plot(x,y)
plt.xlim((-1.2,1.2))
plt.ylim((-1.2,1.2))

plt.quiver(x,y,u,v)
plt.grid()
plt.show()

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