Deterministic Nonperiodic Flow
Edward N. Lorenz
Massachusetts Institute of Technology
(原稿于1962年11月18日收到，修订于1963年1月7日)
中文由 TOYOHAY 于 2020年11月6日-8日翻译，原文来自 journals.ametsoc.org
译者序
本文是洛伦兹发现初始值的微小不同，会导致复杂系统发展为截然不同的结果后，发表的第一篇文章。也即是我们熟悉的蝴蝶效应（气象意义）前身的第一篇论文。 通过对简单非线性系统的研究，指出了准确的长期天气预报的不可能性。文中作者使用电子计算机进行数值求解，在当时，计算机还是使用电子管的，没有屏幕，输入和输出都是通过纸来实现。下图中为作者使用的计算机，计算速度为每秒500次加法。文章的观点，在当时是非常先进且饱受争议的。
摘要
确定的非线性常微分方程组的有限系统，可设计为表示强制消散的流体动力流。这些方程的解可以在相空间用轨迹展示。对于存在有界解(bounded solution)的系统，发现伴随着微小的变化的非周期解是不稳定的，所以初状态的微小不同可以发展成相差甚远的情况。存在有界解的系统拥有有界的数值解。
一个代表环形对流的简单系统可使用数值方法解出。所有的解都被发现是不稳定的，它们几乎所有都是非周期性的。
极长期(very-long-rang)天气预报的可行性将根据这些结果来测试。
1. 引言
某些流体力学系统呈现出稳定的流动模式，而另一些则是有规律的周期性震荡(oscillate)。然而有一些则无规律变化，杂乱无章，而且进行长时间的观察，也没有出现与自身之前重复的情况。
这些行为的模式，都可以在Fultz等(1959) 和Hide (1958)描述的，熟悉的转盘(rotating-basin)实验中观测到。在这些实验中，一个装着水的圆柱体容器沿着中轴旋转，以稳定对称的方式在靠近外围处加热，靠近中心处冷却。某些情况下，得到的流场是如热力分布一样对称且稳定。在另一些情况下，会形成一个有规律间隔波浪的系统，并以一致的速度前进而不改变其形状。在另外不同的情况下，会形成一个无规律的流场，以无规律且无周期的方式运动与变形。
缺乏周期性在自然系统中非常常见，也是湍流最显著的特征之一。由于湍流瞬时的模式非常不规则，人们的注意往往局限于湍流的细节，往往表现为有规律的有序的方式。然而，短期气象预报员不得不预测大尺度湍流——气旋与反气旋的细节，即使它们会不断地排列成新的模式。因此除了对不规律流场的统计特征外，更多关注的是真实情况。
在本研究中，我们将研究流体动力系统理想化的确定的方程。我们主要对非周期性解感兴趣，也就是说，这些解永远不会精确地重复其过去的历史，且所有近似的重复都是在有限范围内的。因此，我们将围绕解的最终行为，而不是与初始条件相关的瞬时行为。
一个有限质量的闭合流体力学系统数学上可以被视为一个有限的分子集合，通常都是一个非常大的有限集合，在这种情况下，控制规律(governing laws)可以表达为一组有限的常微分方程。这些方程一般都是非常棘手的，分子集合通常通过质量连续分布近似得到。控制规律表示为一组偏微分方程，包含速度、密度、压力等因变量。
当这些方程的解是周期性的或随时间而变化时，有时有可能通过分析方法获得这些方程的特定解，事实上，已经有许多工作致力于通过一种或其他方案来获得这些解。然而，通常情况下，非周期性的解除了通过数值程序(numerical procedure)计算外，是不容易确定的。这些程序包括用一个新的有限时间函数集代替连续变量，这可能是连续变量在一个选定的网格点的值，或者是这些变量在一系列正交函数(orthogonal function)中的膨胀系数(coefficients in the expansions)。然后，控制规律又变成了一组有限的普通微分方程，尽管这组方程比单个分子运动的方程简单得多。
在任何真实的流体力学系统中，除非系统以固体形式运动，不然粘性耗散(viscous dissipation)总是会发生；除非系统是恒温的，不然热耗散(thermal dissipation)也总是会发生。在某些情况下，系统可以被视为保守(conservative)系统，其中的总能量或其他变量不随时间变化。在寻求系统的最终行为时，使用保守方程是不令人满意的，因为任何保守量的最终值与最初值是一样的。解决这个问题可以通过引入耗散过程，使方程变为非保守(nonconservative)方程，并且引入外部的机械或热力强迫(forcing)，从而防止系统最终达到静止。如果系统是确定性的，强迫方程如果不是随时间不变的，那么系统本身必须按照某些确定性的规律变化。
下文中，我们将专门处理有限系统的确定常微分方程，用以表示强迫耗散流体力学系统。我们将研究这些方程的非周期解的性质。
这些解的存在都不是显而易得的。事实上，在由有限数量的线性方程控制的耗散系统中，一个恒定的强迫最终导致恒定的反应，而周期性的强迫则导致周期性的回应。因此，非周期流有时会被认为是非周期或随机强迫的结果。
当控制方程是非线性时，这些结论是不适用的。如果方程中含有代表平流的项——通过流体自身的运动来传递流体的某些特性，那么一个恒力可以导致可变的响应。在前面已经提到的转盘实验中，周期性和非周期性的流动都是由热力驱动的，而热力在实验控制范围内是恒定的。作者(1962a)已经通过分析得到了代表恒定热力的耗散流的简化方程系统的精确周期解。作者(1962b)也用数值方法找到了类似方程组的非周期性解。
2.相空间
考虑一个可以用 $M$ 个变量 $X_1,\cdots,X_M$ 描述状态的系统。让系统被控制(be governed)于一组方程
$$ \begin{equation} dX_i/dt = F_i(X_1,\cdots,X_M),\quad i=1,\cdots,M\tag{1} \end{equation} $$
其中时间 $t$ 是一个单独立变量，函数 $F_i$ 具有连续的一阶偏导数。这样的系统可以使用相空间来进行研究，相空间是一个以 $X_1,\cdots,X_M$ 为坐标轴的 $M$ 维的欧氏空间 $\Gamma$ 。每一个在相空间内的点都代表了一个可能的系统瞬间的状态。一种按照 (1) 式变化的状态，可以使用一个在相空间内运动的粒子(particle)表示，并描绘出一条运动的轨迹(trajectory)。一个稳定粒子的位置，代表了一种稳定的状态，同样也包含稳定的轨迹。
相空间是处理有限系统的一个有用的概念，数学家们，如 Gibbs (1902)在发展统计力学时， Poincaré (1881) 在处理微分方程的解时，以及 Birkhoff (1927)在论述动力系统时，都曾使用过相空间。
根据微分方程的理论(例如Ford 1933, ch. 6)，因为偏微分 $\partial F_i/\partial X_j$ 是连续的，如果 $t_0$ 是任意时刻且 $X_{10},\cdots,X_{M0}$ 是在 $\Gamma$ 中任意一点，则方程(1)拥有唯一解(unique solution)
$$ X_i=f_i(X_{10},\cdots,X_{M0},t),\quad i=1,\cdots,M\tag{2} $$
在包含 $t_0$ 的某个时段内有效，且满足条件
$$ f_i(X_{10},\cdots,X_{M0},t_0)=X_{i0},\quad i=1,\cdots,M\tag{3} $$
函数 $f_i$ 在 $X_{10},\cdots,X_{M0}$ 与 $t$ 中连续。因此在 $\Gamma$ 中有唯一一条穿过各个点的轨迹。然而，当 $t\rightarrow \infty$ 或 $t\rightarrow -\infty$ 时可能会有两条或多条轨迹接近同一点或同一曲线。此外，由于函数 $f_i$ 是连续的，时间的流逝定义了 $\Gamma$ 的任何区域到另一个区域的连续变形。
在熟悉的保守系统中，有一些被定义为正的变量 $Q$ ，可能表示的是某种形式的能量，他不随时间变化，每一条轨迹都被限制在一个或另外的常量 $Q$ 的平面内，这些平面的形状可能是闭合的同心壳层。
另一方面，如果存在耗散和强迫力，每当 $Q$ 等于或超过某个固定值 $Q_1$ 时，耗散使 $Q$ 的减少会比强迫力使 $Q$ 的增加更快，当$Q\ge Q_1$时 $(-dQ/dt)$ 存在正下限，因此每条轨迹最终都会被限制在 $Q<Q_1$的区域内。所以代表强制耗散的轨迹与保守系统的轨迹有很大不同。
这类强制耗散系统的典型代表是那些系统满足以下方程的系统
$$ dX_i/dt=\sum_{i,k}a_{ijk}X_jX_k-\sum_ib_{ij}X_j+c_i\tag{4} $$
其中 $\sum a_{ijk}X_iX_jX_k$ 可以相同抵消(vanishes identically)，$\sum b_{ij}X_iX_j$ 是正值，且 $c_1,\cdots,c_M$ 是常数。如果
$$ Q = \frac{1}{2}\sum_i X_i^2\tag{5} $$
且如果 $e_1,\cdots,e_M$ 是以下方程的根
$$ \sum_i(b_{ij}+b{ji})e_j=c_i\tag{6} $$
根据 (4) 有
$$ dQ/dt=\sum_{i,j}b_{ij}e_ie_j-\sum_{i,j}b_{ij}(X_i-e_i)(X_j-e_j)\tag{7} $$
式 (7) 等式右边只有在椭球 $E$ 的表面才会为零，且在 $E$ 内为正值。常数 $Q$ 的面是同心球。如果 $S$ 代表这些球体中的某一个，其内部 $R$ 包含椭圆体 $E$ ，显然每条轨迹最终都被限制到 $R$ 内。
3. 非周期流的不稳定性
在这一节我们将建立确定性非周期流的一个最重要的属性，即它的不稳定性会随着小振幅(amplitude)改变。通过相空间轨迹识别控制方程的解，就能很方便地能找到它。我们以符号 $P(t)$ （可变参数）来表示轨迹，以符号 $P$ 或 $P(t_0)$ （非参数或常参数）来表示点，后者表示经过 $P(t)$ 在时间上为 $t_0$ 的点。
我们需要处理有唯一一条经过每个点的轨迹的相空间 $\Gamma$ ，且以时间的流逝定义了 $\Gamma$ 的任意区域到另一区域的连续形变(deformation)，因此如果点 $P_1(t_0),P_2(t_0),\cdots$ 有限接近于 $P_0(t_0)$ ，则点 $P_1(t_0+\tau),P_2(t_0+\tau),\cdots$ 必然有限接近于 $P_0(t_0+\tau)$ 。此外我们还要求当 $t\rightarrow\infty$ 时轨迹有界，则必须要有一个界限区 $R$ ，即每一条轨迹最终都在 $R$ 内。我们的程序受到了 Birkhoff(1927)在动力系统中的研究的启发，但不同的是 Birkhoff 主要关注的是保守系统。Nemytskii 与 Stepanov(1960)给出了动力系统更详细的描述，我们将提出一些，可以在其中找到的定理严谨证明。
我们将以三种不同的方式对轨迹进行分类，即根据瞬时特性(transient properties)的存在与否、轨迹对小的修改的稳定性与不稳定性，以及周期性的存在与否。
因为任意轨迹 $P(i)$ 都有界，则它一定拥有至少一个极限点 $P_0$ ，即一个轨迹经常任意接近的点。更准确的说，当任意 $\epsilon >0$ 与任意时间 $t_1$，存在时间 $t_2(\epsilon,t_1)>t_1$，使 $|P(t_2)-P_0|<\epsilon$ ，则$P_0$ 为 $P(t)$ 的极限点。此处的绝对值符号表示相空间内距离。因为 $\Gamma$ 会随 $t$ 的变化而连续变形，所以每一个在轨迹上经过 $P_0$ 处的点，都是 $P(t)$ 的极限点，$P(t)$ 的极限点的集合形成一条轨迹，或者一组轨迹，称为 $P(t)$ 的极限轨迹(limiting trajectory)。显然，极限轨迹完全是在 $R$ 内的。
如果一条轨迹被包含在它自己的极限轨迹中，则称之为中心(central)，否则称之为非中心(noncentral)。中心轨迹经常任意接近地通过它以前通过的任何一点，至少在这个意义上，中心轨迹的一段够长的片段在统计上是相似的。非中心轨迹则与其之前通过的任何一点保持一定的距离。它必须任意接近它的极限点的集合，即使它需要不任意接近任何特定的有限轨迹。它与最近的极限点的瞬时距离是一个瞬时量，且随着 $t\rightarrow\infty$ 而任意变小。
如果任意其他轨迹在 $t_1$ 时足够近地经过 $P(t_1)$ ，并当 $t\rightarrow\infty$ 时靠近 $P(t)$，那么称轨迹 $P(t)$ 稳定于一点(stable at a point) $P(t_1)$。 也就是说，如果任意 $\epsilon > 0$ 存在 $\delta(\epsilon,t_1) > 0$ 和，且如果 $|P_1(t_1)-P(t_1)|<\delta,\quad t_2>t_1,|P_1(t_2)-P(t_2)|<\epsilon$， 则 $P(t)$ 稳定于 $P(t_1)$。否则，$P(t)$ 称之为于 $P(t_1)$ 不稳定(unstable)。因为 $\Gamma$ 跟随时间 $t$ 的变化连续形变，一条轨迹在某点处稳定，则在所有点都稳定，并成为稳定(stable)轨迹。若轨迹在某点不稳定，则所有点都不稳定。在特殊情况下， $P(t)$ 被限制到一个点，这个定义与稳定流动的稳定性概念不谋而合。
当一条临近的轨迹必须接近点 $P(t_1)$ 的范围内，稳定轨迹 $P(t)$ 被称为一致稳定(uniformly stable)，为了确定当 $t\rightarrow\infty $ 时保持接近 $P(t)$ ，当 $t_1\rightarrow\infty $ 时，它自身拥有正的下界限，也就是说，如果任意 $\epsilon > 0$ 存在 $\delta(\epsilon) > 0$ 和时间 $t_0(\epsilon)$ ，且如果 $t_1>t_0, |P_1(t_1)-P(t_1)|<\delta,\quad t_2>t_1,|P_1(t_1)-P(t_1)|<\epsilon$， 则 $P(t)$ 一致稳定。一条一致稳定的轨迹 $P(t)$ 的一条有限轨迹 $P_0(t)$ 一定也是一致稳定的。因为所有轨迹都充分接近 $P_0(t)$ ，所以也任意接近于 $P(t)$ 的某些点，即一定保持接近 $P(t)$ ，因此当 $t\rightarrow\infty $ 时也接近 $P_0(t)$ 。
因为每个点都在一条唯一的轨迹上，若任意轨迹经过先前经过的点，则一定会继续重复这样的行为，即是周期性的(periodic)。如果对于某些任意大的时间间隔 $\tau$ ，$P(t+\tau)$ 则最终保持任意接近 $P(t)$，轨迹 $P(t)$ 就被称为准周期性 (quasi-periodic)的，也即是说，如果任意 $\epsilon >0 $ 与任意时间间隔 $\tau_0$ ，存在 $\tau(\epsilon,t_0)>\tau_0$ 与时间 $t_1(\epsilon,\tau_0)$ 使 $t_2>t_1,|P(t_2+\tau)-P(t_2)|<\epsilon$ ，则 $P(t)$ 是准周期性的。周期性轨迹是准周期性轨迹的特殊情况。
不是准周期性的轨迹，称为非周期性(nonperiodic)。如果 $P(t)$ 是非周期性的，对于某些时间 $t_1$ 和任意大的时间间隔 $\tau$ ， $P(t_1+\tau)$ 可能任意接近于 $P(t_1)$ ，但是，在这种情况下，当 $t\rightarrow\infty $ 时 $P(t+\tau)$ 不能保持任意接近于 $P(t)$。非周期性轨迹当然是确定的非周期流的表现，也是本文的主要内容。
周期性轨迹显然是中心性的。准周期中心轨迹包含多个周期相差甚远的周期性轨迹，而准周期非中心轨迹则包含周期任意接近的周期性轨迹。非周期性轨迹可能是中心性的也可能是非中心性的。
我们现在可以确定稳定的有限轨迹是准周期轨迹的定理。如果 $P_0(t)$ 是 $P(t)$ 的有限轨迹，当 $\tau$ 任意大时，有两个不同的点 $P(t_1),P(t_1+\tau)$ ，任意靠近于 $P_0(t_0)$的任一点。因为 $P_0(t)$ 是稳定的， 当 当 $t\rightarrow\infty $ 时，$P(t)$ 和 $P(t+\tau)$ 一定保持任意接近于 $P_0(t+t_0-t_1)$ ，因此 $P(t)$ 是准周期性的。
同理，稳定的中心轨迹是准周期性的，或等同地，非周期中心轨迹是不稳定的。
当我们所考虑的系统是一个可观察的非周期性系统，而我们希望预测其未来状态时，这个结果是具有深远影响的。这意味着两个相差无几的状态最终可能发展为两个相当不同的状态。那么，如果在观察当前状态时有任何误差，且在真实系统中这种误差是不可避免的，那么对于未来可接受的瞬时状态预测结果，很可能是不可能的。
至于非中心轨迹，一致稳定的非中心轨迹是准周期性的，或者等价地，非周期非中心轨迹是不一致稳定的。稳定但不一致稳定的非周期非中心轨迹还是可能会存在的。至少在作者看来，这些轨迹，即使在纸面上是可能的，但似乎并不是真实流体力学现象的特征。例如任意关于大气气流都由这些轨迹代表的说法，将导致导致一个不可能的结论，即我们应该尽快掌握长期预报，因为我们等得越久，任务就越难。
综上所述，我们已经描述了，在本节规定的唯一性、连续性和边界性条件的前提下，一条中心轨迹，在一定意义上是没有瞬态特性的，如果它是非周期性的，则是不稳定的。一条非中心轨迹，它的特点是有瞬态特性，如果它是非周期性的，它就不是一致稳定的，而且，如果它是稳定的，它的稳定性就是它的瞬态特性之一，随着时间的推移，它的瞬态特性往往会消失。鉴于不可能精确测量初始条件，从而区分中心轨迹和附近的非中心轨迹，再从实际预测的角度来看，所有非周期轨迹都是不稳定的。
4. 非保守系统的数值积分
最后一节的理论只有在所考虑的方程的非周期解存在时，才显得重要。统计上固定的非周期时间函数是不容易分析描述的，但特定的非周期解可以使用数值程序轻松得到。在本节中，我们将测试专门应用于方程 (4) 所形成的系统的数值积分程序。在下一节中，我们会使用这个程序来确定一组简单方程的非周期解。
为了数值解出 (1) ，我们需要选择一个初始时间 $t_0$ 和时间增量 $\Delta t$ ，使
$$ X_{i,m} = X_i(t_0+n\Delta t)\tag{8} $$
引入辅助的近似
$$ X_{i(n+1)}=X_{i,n}+F_i(P_n)\Delta t\tag{9} $$
$$ X_{i((n+2))} = X_i(n+1)+F_i(P_{(n+1)})\Delta t\tag{10} $$
其中 $P_n$ 和 $P_{(n+1)}$ 是以下坐标系中的点
$$ (X_{i,n},\cdots,X_{M,n})\quad\mbox{and}\quad (X_{1(n+1)},\cdots,X_{M(n+1)}) $$
能得到 (1) 的近似解的最简单数值程序，是前向差分程序(forward-difference procedure)，
$$ X_{i,n+1}=X_{i(n+1)}\tag{11} $$
使用中心差分程序(centered-difference procedure)，可更好地获得(1)的近似解，
$$ X_{i,n+1} = X_{i,n-1}+2F_i(P_n)\Delta t \tag{12} $$
然而，当(1)的确定性是个问题时，这个程序是不适用的，因为 $X_{1,n},\cdots,X_{M,n}$ 的值并不能唯一决定 $X_{i,n+1},\cdots,X_{M,n+1}$ 的值。
二重近似程序(double-approximation procedure)，极大地克服了前向差分和中心差分程序的缺点，可以通过以下定义
$$ X_{i,n+1} = X_{i,n}+\frac{1}{2}[F_i(P_n)+F_i(P_{(n+1)})]\Delta t\tag{13} $$
此处 $\Delta t$ 的系数是 $X_i$ 在时间 $t_0+(n+\frac{1}{2})\Delta t$ 时的时间导数。根据 (9) 和 (10) ，(13) 可以写成
$$ X_{i,n+1}=\frac{1}{2}(X_{i,n}+X_{i((n+2))})\tag{14} $$
自动计算的权宜之计是根据 (9)(10)(14)，连续地评估 $X_{i(n+1)},X_{i((n+2))}$ 和 $X_{i,n+1}$ 。在本研究所有的计算，均使用此方法。
式 (1) 的数值解在相空间中，一定是表现为跳跃的粒子，而不是连续移动的粒子。而且，如果令数字计算机使用固定的位数来表示这些数字，只有相空间中特定的离散点能被使用表示。如果数值解有界，重复必将出现，所以，严格来说，每一个数值解都是周期性的。在实践中，如果不同可能状态的数量远大于将要进行的迭代数，可以不考虑这个问题。让计算的精度随着 $n$ 的增加而增加，这样虽然有点不经济，但可以完全避免重复的必然性。
考虑使用前向差分程序 (11) 得到的方程 (4) 的数值解，对于这样的解
$$ Q_{n+1} = Q_n+(dQ/dt)_n\Delta t+\frac{1}{2}\sum_iF_i^2(P_n)\Delta t^2\tag{15} $$
让 $S'$ 表示在 $dQ/dt$ 为零时，常数 $Q$ 的任意曲面，其内部的 $R'$ 包含椭球 $E$ ；让 $S$ 表示常数 $Q$ 的任一曲面且其内部的 $R$ 包含 $S'$。
因为 $\sum F_i^2$ 和 $dQ/dt$ 在 $R$ 中都有上界，如果 $P_n$ 落在 $R'$ 内，则我们令 $\Delta t$ 足够小，使得 $P_{n+1}$ 落在 $R$ 内。同样，因为 $\sum F_i^2$ 有上界，在 $R-R'$ 中 $dQ/dt$ 有负的上界，如果 $P_n$ 落在 $R-R'$ 中，则我们令 $\Delta t$ 足够小，使 $Q_{n+1}<Q_n$ 。因此当跳动的粒子进入 $R$ 且被限制于 $R$ 内时，$\Delta t$ 可能会选择比较小的值，那样数值解就不会爆炸(blow up)。然而，当初始时粒子在 $R$ 外，就可能还是会爆炸。
现在考虑二重近似程序 (14)。前面的讨论意味着不仅当 $P_n$ 落在 $R$ 内时，$P_{(n+1)}$ 落在 $R$ 内，而且当 $P_{(n+1)}$ 落在 $R$ 内时， $P_{((n+2))}$ 也落在 $R$ 内。因为区域 $R$ 是凸型的，所以当 $P_n$ 落在 $R$ 内时，由(14)给出的 $P_{n+1}$ 也落在 $R$ 内。如果 $\Delta t$ 能够选择得足够小，使前向差分程序不会爆炸，那么双重近似程序也不会爆炸。
顺带一提，如果我们对处处 $dQ/dt=0$ 的保守系统使用前向差分程序，
$$ Q_{n+1}=Q_n+\frac{1}{2}\sum_i F_i^2(P_n)\Delta t^2\tag{16} $$
在这种情况下，任何确定的 $\Delta t$ ，得到的数值解最终都变为无限大，除非它任意靠近某个稳定状态。当对保守系统使用二重近似方法 (14) 时，也是得到类似的结果。
5. Saltzman的对流方程
在本节，我们将介绍一个笔者知道的，由三个常微分方程组成的系统，它的解是最简单的确定性非周期流例子。此系统是由 Saltzman (1962) 提出，用于研究有限幅度对流的简化版。尽管我们目前感兴趣的是解的非周期性质，而不是对于研究对流问题的贡献，但我们还是简要说明其物理背景。
Rayleigh (1916) 研究了当上下表面温差 $\Delta T$ 保持恒定时，液体中同一深度 $H$ 处出现的流场。当没有运动时，这样的系统拥有稳定状态的解，且温度随着深度线性变化，如果解是不稳定的，则会有对流产生。
在所有运动都平行于 $x-z$ 平面时，且在 $y$ 轴方向上没有变化出现，控制方程可以写成 (见 Saltzman, 1962)
$$ \frac{\partial}{\partial t}\nabla^2\psi=-\frac{\partial(\psi,\nabla^2\psi)}{\partial(x,z)}+\nu\nabla^4\psi+g\alpha\frac{d\theta}{dx}\tag{17} $$
$$ \frac{\partial}{\partial t}\theta=-\frac{\partial(\psi,\theta)}{\partial(x,z)}+\frac{\Delta T}{H}\frac{\partial \psi}{\partial x}+\kappa\nabla^2\theta\tag{18} $$
此处 $\psi$ 为二维运动的流函数， $\theta $ 是相比于没有对流时的温度偏差，常数 $g,\alpha,\nu,\kappa$ 分别表示重力加速度、热膨胀系数、运动学粘度和导热率。当上下表面都不存在时，$\psi$ 和 $\nabla^2\psi$ 就会在两个边界处消失， 因此问题可以很容易地解决。
Rayleigh 发现当运动场形式为
$$ \psi = \psi_0 \sin(\pi aH^{-1}x)\sin(\pi H^{-1}Z)\tag{19} $$
$$ \theta = \theta_0\cos(\pi aH^{-1}x)\sin(\pi H^{-1}Z)\tag{20} $$
且变量
$$ R_a=g\alpha H^3\Delta T\nu^{-1}\kappa^{-1}\tag{21} $$
$R_a$ 称为瑞利数(Rayleigh number)，场发展需要 $R_a$ 超过临界值
$$ R_c=\pi^4a^{-2}(1+a^2)^3\tag{22} $$
当 $a^2=\frac{1}{2}$ 时， $R_c$ 有最小值 $27\pi^4/4$ 。
Saltzman (1962) 通过双傅里叶级数在 $x$ 和 $z$ 拓展了 $\psi$ 和 $\theta$ ，得到一组 $t$ 有单独系数的常微分方程，且将此级数代入 (17) 与 (18) 。他以双傅里叶级数形式整理了右侧结果方程，即通过把 $x$ （或 $z$ ）的三角函数项替换为三角函数和，并使 $x$ 和 $z$ 的相似方程的系数等价。然后，他按照作者(1960) 提出的方式，省略了对除指定的 $t$ 的有限函数集以外的所有函数的引用，将所得的无限系统还原为有限系统。
他通过数值积分，得到了关于时间(time-dependent)的解。某些情况下，除了三个因变量最终趋向于零，这三个变量都经历了无规则的、明显的非周期波动。
如果级数在开始时去掉一共三个项，就能得到同样的解。因此，在本文中，我们让
$$ a(1+a^2)^{-1}\kappa^{-1}\psi=X\sqrt{2}\sin(\pi aH^{-1}x)\sin(\pi H^{-1}z)\tag{23} $$
$$ \pi R_c^{-1}R_a\Delta T^{-1}\theta=Y\sqrt{2}\cos(\pi aH^{-1}x)\sin(\pi H^{-1}z)-Z\sin(2\pi H^{-1}z)\tag{24} $$
其中 $X,Y,Z$ 都是时间的单独函数。把表达式 (23) 和 (24) 代入 (17) 和 (18) ，并把除三角函数项以外在 (23) 和 (24) 中出现的项都略去，我们得到方程
$$ \begin{align} &X^* = & &-\sigma X&+\sigma Y \tag{25}\\ &Y^* = -&XZ&+rX&-Y\tag{26}\\ &Z^* = &XY&&&-bZ\tag{27} \end{align} $$
式中点（译者注：原文公式中为圆点，此处使用星号代替）表示相对于无维时间 $\tau=\pi^2H^{-2}(1+a^2)\kappa t$ 的导数（译者注：可认为 $X^*=dX/dt$ ），当 $\sigma=k^{-1}\nu$ 时为普朗克数，$r=R_c^{-1}R_a$ 且 $b=4(1+a^2)^{-1}$ 。除了常数相乘，我们的 $X,Y,Z$ 与 Saltzman 的变量 $A,D,G$ 是相同的。对流方程 (25)、(26) 和 (27) 的解是我们接下来要研究的。
在这些方程中，$X$ 与对流运动的强度成正比，而 $Y$ 与上升流和下降流的温差成正比，$X$ 和 $Y$ 同号时，表示暖流上升，冷流下降。变量 $Z$ 与垂直温度廓线的线性变形成正比，正值表示在边界附近有强烈的梯度。
当瑞利数稍微超出临界值时，方程 (25)-(27) 可能给出真实的结果，但以极值截断(extreme truncation) 的视角来看，当强对流产生时，它们的解与 (17) 和 (18) 的并不相似。
6.线性理论应用
方程 (25)-(27) 没有 (4) 的形式，一些线性变换将使它们转变为这种形式。最简单的变换之一是
$$ X'=X,\quad Y'=Y,\quad Z'=Z-r-\sigma\tag{28} $$
当 $\tau\rightarrow\infty $ 时，(25)-(27) 的解依然限制在区域 $R$ 内，章节2、3和4的一般解将应用于这些方程。
$X(\tau),Y(\tau),Z(\tau)$ 的解的稳定性，将通过叠加小的扰动 $x_0(\tau),y_0(\tau),z_0(\tau)$ 来研究。这些扰动暂时由以下线性方程控制
$$ \begin{bmatrix}x_0\\y_0\\z_0\end{bmatrix}^* = \begin{bmatrix} -\sigma & \sigma & 0\\ (r-Z)& -1 &-X\\ Y&X&-b\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_0\\y_0\\z_0\end{bmatrix}\tag{29} $$
因为 (29) 的系数随时间变化，除非 $X,Y,Z$ 的基本状态是 (25)-(27) 的稳定状态解，不然 (29) 的解是不可行的。然而，在相空间中，小区域的体积 $V_0$ 的变化，如同区域内各点的根据 (25)-(27) 的位移，是由系数矩阵的对角线和确定的。特别地
$$ V_0^*=-(\sigma+b+1)V_0\tag{30} $$
通过把相空间内的运动，像流体流动一样可视化，那么结果将会是显而易见的。其中散度为
$$ \frac{\partial X^*}{\partial X}+\frac{\partial Y^*}{\partial Y}+\frac{\partial Z^*}{\partial Z}=-(\sigma+b+1)\tag{31} $$
因此当 $\tau \rightarrow\infty $ 时，每个小体积以独立于 $X,Y,Z$ 的速率收缩至零。这不意味着每个小体积收缩至一个点，而是简单地变为一个面。初始时，小体积被曲面 $S$ 包围，并以同样的速率收缩至零，所以所有轨迹最终都会被限制在体积为零的子空间内。子空间包含所有落在 $R$ 内的轨迹，即包含所有中心轨迹。
方程 (25)-(27) 拥有稳定状态解 $X=Y=Z=0$ ，代表没有对流时的状态。根据这个基础解，(29) 中矩阵的特征方程为
$$ [\lambda+b][\lambda^2+(\sigma+1)\lambda+\sigma(1-r)]=0\tag{32} $$
当 $r >0$ 时，此方程有三个实根，当 $r<1$ 时，均为负值，但 $r >1 $ 时，有一个为正值。因此，对流开始的标准是 $r=1$ ，或 $R_a=R_c$ ，与 Rayleigh 的结果一致。
当 $r >1$ 时，方程 (25)-(27) 拥有两个额外的稳定状态解 $X=Y=\pm\sqrt{b(r-1)},Z=r-1$ 。
对于任一解，(29) 中矩阵特征方程是
$$ \lambda^3+(\sigma+b+1)\lambda^2+(r+\sigma)b\lambda+2\sigma b(r-1)=0\tag{33} $$
当 $r >1$ 时，这个方程拥有一个负实根与两个共轭复根，共轭复根是纯虚构的，如果 $\lambda^2$ 和 $\lambda$ 的系数的乘积等于常数项，或
$$ r=\sigma(\sigma+b+3)(\sigma-b-1)^{-1}\tag{34} $$
这是 $r$ 关于稳定对流的不稳定性的临界值。因此如果 $\sigma<b+1$ ，没有正的 $r$ 值满足 (34)，稳定的对流则保持稳定，但如果 $\sigma > b+1$ ，稳定对流会因足够大的瑞利数而不稳定。此结果只能应用于 (25)-(27) 控制的、理想化的对流，不是偏微分方程 (17) 和 (18) 的解。
(34) 的复根的出现，表明如果不稳定的稳定对流是受扰动的，运动会摇摆不定。当扰动大了会怎么样，这不是线性理论可以揭示的。为了探究有限辐对流，并研究轨迹最终被限制的子空间，我们转向数值积分。
7. 对流方程的数值积分
为了获得对流方程的数值解，我们必须为常数选取数值。根据 Saltzman (1962) ，我们让 $\sigma = 10$ 且 $a^2=\frac{1}{2}$ ，则 $b=8/3$ 。当 $r=470/19=24.74$ 时，稳定对流的不稳定性临界瑞利数出现。
我们选择稍微超过界限的值 $r = 28$ 。稳定对流状态将由点 $(6\sqrt{2},6\sqrt{2},27)$ 和点 $(-6\sqrt{2},-6\sqrt{2},27)$ 在相空间中表示，无对流时则对应原点 $(0,0,0)$ 。
我们使用由 (9)、(10) 和 (14) 定义的双近似程序进行数值积分。值 $\Delta\tau=0.01$ 被选作无维度时间增量。计算过程使用 Royal McBee LGP-30 电子计算机器完成。不算输出时间，大约每秒迭代一次。
我们选择的初始条件，与无对流有稍微的偏离，即 $(0,1,0)$ 。表1由计算机得到，给出前160次迭代中每十五次迭代的 $N$ （迭代次数）,$X,Y,Z$ 值。在输出的结果中，$X,Y,Z$ 被乘以十（并非在计算中），且只有小数点左边的数被打印出来。因此稳定对流的状态被表现为 $0084,0084,0270$ 或 $-0084,-0084,0270$ ，而无对流时则为 $0000,0000,0000$ 。
静止状态的初始不稳定性是显而易见的。三个变量都迅速增长，因为下沉的冷流被上面更冷的流所取代，上升的暖流被下面更暖的流所取代，所以到第35步时，对流的强度远远超过稳定对流的强度。然后，随着暖流被带到对流胞的顶部，$Y$ 逐渐减小，所以到第50步时，当 $X$ 和 $Y$ 符号相反时，暖流下降，冷流上升。随之运动停止，并反转方向，如第60步之后的负 $X$ 值所示。到了第85步时，系统已经离稳定对流状态不远了。在第85与150步之间，它完成了自身强度的完整震荡，微小的细节(slight amplification)将变得不可观测。
系统的后续行为如图1所示，它显示了 $Y$ 在前3000次迭代中的行为。在第35步附近达到早期峰值，然后在第85步附近接近平衡，它经历了系统性的放大震荡，直到第1650步为止。此时，到达了一个临界状态，之后 $Y$ 以看似不规则的间隔改变符号，在再次改变符号之前，有时有一个、有时两个、三个或更多的极值。
图2 表示了相空间中，第1400到1900次迭代间的轨迹，在 $X$-$Y$ 和 $Y$-$Z$ 平面上的投影。稳定对流状态以 $C$ 和 $C'$ 表示。第一段轨迹从 $C'$ 附近向外旋出，从第85步开始，关于稳定对流状态的震荡出现，并继续增长。最终在第1650步附近，穿过 $X$-$Z$ 平面，然后偏向 $C$ 附近。轨迹暂时性地绕 $C$ 螺旋(spiral)，在一次循环(circuit)（译者注：此处循环指围绕 $C$ 或 $C'$ 旋转一圈或接近一圈）后再次穿过 $X$-$Z$ 平面，到了 $C'$ 附近，回到之前经过的循环之中。之后，以不规则的时间间隔在两个螺旋中穿梭。
图3 的坐标轴是 $Y$ 和 $Z$ ，基于上面给出的6000次迭代中，每十五次输出的 $X,Y,Z$ 的值绘制。这些值确定了在 $Y$ 和 $Z$ 的大部分范围内， $X$ 是 $Y$ 和 $Z$ 的平滑单值函数；在剩余区域内，确定了 $X$ 是两个平滑单值函数之一。在图3中，细实线是 $X$ 的等值线(isopleths)，当 $X$ 有两个值存在时，虚线是较小值的等值线。因此，在输出值的精度范围内，轨迹被限制在一对曲面上，它们似乎在图3的下部合并。关于 $C$ 的螺旋位于上曲面，而关于 $C'$ 的螺旋位于下曲面。因此，轨迹有可能从一个螺旋到另一个螺旋来回通过而不与自身相交。
另外的数值解表明，在远离这些曲面的点开始的其他轨迹，很快就会与这些表面相交。因此，这些曲面似乎是由落在极限轨迹上的所有点组成的。
因为原点代表了稳定状态，没有轨迹可以穿过它。然而，有两条轨迹从原点处发出，即当 $\tau \rightarrow -\infty$ 时，轨迹任意接近原点。图3 中的粗曲线，与它的虚延长线，是由这两条轨迹构成。经过原点附近的轨迹将倾向于跟随粗曲线，但不会穿过粗曲线，这样粗曲线就形成了轨迹最终能出现的区域的自然边界。$C$ 和 $C'$ 的空洞同样表示轨迹不能占据的地方。
回到图2，我们发现轨迹离开一个螺旋时，需要满足某些到中心的距离的临界值。此外，超过这个距离的程度似乎决定了进入下一个螺旋的点；这又似乎决定了在再次改变螺旋之前要进行的旋转次数。
似乎，一次循环的某一单一特征，可以预测后续循环的同样特征。在循环接近结束时，出现的 $Z$ 的最大值是一个合适的特征。表2 给出了计算机得到的，当 $Z$ 达到相对最大时的迭代数 $N$ 所对应的 $X,Y,Z$ 值。关于对 $C$ 和 $C'$ 的循环连续性，可以用 $X$ 和 $Y$ 的连续的正负值表示。可见，当最大值超过大约为 $385$ 的临界值时， $X$ 和 $Y$ 的符号改变。
图4 由表2 得到。横坐标为 $M_n$ ，即 $Z$ 的第 $n$ 次的最大值，而纵坐标是 $M_{n+1}$ ，即下一次的最大值。每个点代表了表2 中两个连续的 $Z$ 值。在四舍五入的范围内，计算 $Z$ ，在 $M_n$ 和 $M_{n+1}$ 之间，存在精确的二比一关系。初始最大值 $M_1=483$ 的出现，就好像是跟随在最大值 $M_0=385$ 之后，因为经过 $385$ 附近的最大值之后会接近原点，然后是特别大的最大值。
由此可见，研究者在不知道控制方程性质的情况下，可以根据图2 和图4 所示的 "数据 "，制定一个经验性的预测方案。根据 $Z$ 最近的最大值，可以通过重复应用图4 得到未来的最大值。从图2中，通过相邻曲线之间的插值，可以找到 $Z$ 的最大值之间的 $X,Y,Z$ 的值。当然，这种方法所做的预测的准确性受到图2 和图4 的精确性限制，而且，正如我们将要看到的，还会受到 $X,Y,Z$ 的初始观测值的准确性限制。
图4 揭示了一些规律，考虑数列 $M_0,M_1,\cdots$ 中连续元素间理想化的二比一关系，并包括第零和第一个元素。此数列满足关系
$$ \begin{align} &M_{n+1}=2M_n &\mbox{if} &\quad M_n<1/2\\ &M_{n+1}\quad \mbox{is undefined} &\mbox{if} &\quad M_n=1/2\\ &M_{n+1}=2-2M_n &\mbox{if} &\quad M_n>1/2 \end{align}\tag{35} $$
图5 展示了由 (35) 定义的相关关系，即图4 的理想化情况。对 (35) 重复应用，得到在任意特定数列中
$$ M_n=m_n\pm2^nM_0\tag{36} $$
其中 $m_n$ 为偶整数。
首先考虑数列 $M_0=u/2^p$ ，其中 $u$ 是奇数。当 $M_{p-1} = \frac{1}{2}$ ，数列终止。这个数列来自可数集(denumerable set)，并与直接到达上述无对流状态的轨迹对应。
接着考虑数列 $M_0=u/2^pv$，其中 $u$ 和 $v$ 都是相关的奇质数。当 $k >0$ 时， $M_{p+1+k}=u_k/v$ ，其中 $u_k$ 和 $v$ 都是相关质数，$u_k$ 更是。因为对于任意的 $v$ ，真分数 $u_k/v$ 的数量是有限的，所以重复必然出现，即数列是周期性的。这个数列也是来自可数集，且与周期性轨迹相关。
周期性数列对于给定的数字有不同的结果值，或者说相，都是显而易的得。特别地，有单一相(single one-phase)的、单双相(single two-phase)的和双三相(two three-phase)的数列，即
$$ \begin{align} &2/3,\cdots,\\ &2/5,4/5,\cdots,\\ &2/7,4/7,6/7,\cdots,\\ &2/9,4/9,8/9,\cdots \end{align} $$
双三相数列性质上有差别，前者拥有两个数字，后者只有一个数字，且超过 $\frac{1}{2}$ 。所以与前者相关的轨迹，先做两个围绕 $C$ 的循环，然后是一个围绕 $C'$ 的循环 （反之亦然）。与后者相关的轨迹，先是三个围绕 $C $ 的循环，然后是三个围绕 $C'$ 的循环，所以实际上只有 $Z$ 是三相变化的，而 $X$ 和 $Y$ 是六相变化的。
现在考虑 $M_0$ 不是有理分数的数列。在 (36) 的当 $k>0$ 时，$M_{n+k}$ 不等于 $M_n$ ，所以没有重复出现。这个数列来自不可数集(nondenumerable set)，可想而知，可能是任意接近周期数列的且是准周期的，或者可能是非周期性的。
最后，考虑两个数列 $M_0,M_1,\cdots$ 和 $M_0',M_1',\cdots$ ，其中 $M_0'=M_0+\epsilon$ 。对于给定的 $k$ ，如果 $\epsilon$ 足够小，则 $M_k'=M_k\pm2^k\epsilon$ 。所有数列对于小的改变都是不稳定的。特别地，所有周期性数列都是不稳定的，且没有任何数列能任意接近它们。因此，除了零测度(measure zero)集的所有数列，都是非周期性的，并与非周期轨迹相关。
回到图4 ，我们发现计算结果中与周期序列相似的地方。他们大约为
$$ \begin{align} &398,\cdots,\\ &377,410,\cdots,\\ &369,391,414,\cdots,\\ &362,380,419,\cdots \end{align} $$
拥有这些或其他周期性最大值数列的轨迹，本身可能是周期性或准周期性的。
上述数列是在数列从 $5340,4881,3652$ 和 $3926$ 次迭代开始时，暂时接近数值解。由于数值解最终会偏离这些数列中的每一个，因此每一个数列都可能是不稳定的。
更一般地，如果 $M_n'=M_n+\epsilon$ ，且如果 $\epsilon$ 足够小，则 $M_{n+k}'=M_{n+k}+\Lambda\epsilon$ ，其中 $\Lambda$ 是图4 中曲线上横坐标为 $M_n,\cdots,M_{n+k-1}$ 的点的斜率的乘积。曲线显然有处处不同的斜率，所有数列的最大值，因此所有轨迹都是不稳定的。特别地，周期轨迹的数列来自可数集，是不稳定的，且只有特殊的，有着同样的数列的轨迹，可以任意接近。剩下的轨迹，其最大值数列来自不可数集，因此代表确定性的非周期流。
这些结论是基于一个数值的确定解的有限部分。尽管证据确凿，但不能认为这些结论在数学上得到了证明。有一个明显的矛盾需要进一步研究。
两个曲面的合并是很难调和的，不但包含每个螺旋，还有两条不能融合的轨迹。然而，要解释显然的(apparent)表面合并并不困难。在两个时间点 $\tau_0$ 和 $\tau_1$ ，指定的一组粒子所占的体积根据 (30) 满足以下关系
$$ V_0(\tau_1)=e^{-(\sigma+b+1)(\tau_1-\tau_0)}V_0(\tau_0)\tag{37} $$
一个经典的关于 $C$ 或 $C'$ 的循环，需要大约70迭代，所以，对于这样的循环 $\tau_2=\tau_1+0.7$ ，又因 $\sigma+b+1 = 41/3$ ，有
$$ V_0(\tau_1)=0.00007V_0(\tau_0)\tag{38} $$
两个以合适的方向相分离的粒子，会很快走到一起，并表现出合并。
看上去，两个曲面进近表现为合并，并依然有不同的曲面。跟随与轨迹平行的路径，并围绕 $C$ 或 $C'$ ，我们可以看见每个曲面，其实是又一对曲面，即在它们合并的地方，其实有四个曲面。沿着另一个循环继续，我们可以看见实际上有八个曲面，以此类推，我们最终得到一个无限曲面的复合体，每个都极限地接近另一个或另外两个合并的曲面。
平行于 $X$ 轴的线与这些曲面相交的无限值集合可以比作零和一之间所有数字的集合，这些数字的十进制展开(decimal expansions)（或除二进制外的其他展开）只包含零和一。这个集合显然是不可数的，因为它对应于用二进制表示的零和一之间的所有数的集合。尽管如此，它还是形成了一个零度量集合。零和一的数列对应于特定的、包含落在曲面中轨迹的历史的曲面，紧靠小数点右边的一或零，分别代表了最后一次围绕 $C$ 或 $C'$ 的循环；第二位的一或零给出了关于下一次循环的信息，以此类推。重复的小数点扩展，表示了周期性或准周期性轨迹，由于它们定义了有理分数，所以它们构成了一个可数集(denumerable set)。
如果有人首先将这个无限的曲面复合体可视化，应该不难想象出嵌入这些曲面中的确定非周期性轨迹。
8. 结论
某些机械或热力强迫的非保守流体力学系统，在没有明显的周期或不规则的受迫时，可能表现出周期性或不规则行为。在实验控制的限制中，当强迫过程保持不变时，周期或非周期性的流都在一些实验模型中观测到。一些被设计用于表示这些流体力学系统的常微分方程有限系统，当强迫严格恒定时，拥有周期性的解析解。其他此类系统则产生了非周期性的数值解。
用常微分方程组的有限系统表示的强迫耗散流，经常出现所有解最终被限制到同一范围内的特征。我们已经仔细研究了这种类型系统的解的特征。我们的主要结果涉及非周期解的不稳定性。没有瞬时分量(transient component)的非周期解，一定是不稳定的，按道理说解的暂时接近是不会持续的。有瞬时分量的非周期性解有时是稳定的，但在这种情况下，稳定性只是最终消失的瞬时特征之一。
为了验证确定的非周期性流的存在，我们得到了三个被设计于表示对流过程的常微分方程的数值解。方程组拥有三个稳定状态解和有限可数集的周期解。所有解，尤其是周期解，都被认为是不稳定的。剩余的解不能任意接近周期解，因此是非周期性的。
我们所关注的非周期流的不稳定性，可被应用于大气中，因为表面上大气也是非周期性的，结果指出，除非对目前条件了解得非常清楚，不然使用任何方法对于足够长时间的未来预报，都是不可能的。从气象观测的不可避免误差和不完整方面来看，精确的极长期预报似乎是不存在的。
还剩下一个问题，即我们的结果对大气是否成立。人们通常不把大气看作是确定性的或有限的，且缺乏周期性也不是数学上的肯定，因为大气层并没有被永远观测。
我们的主要结果的基础是，任何有限维度的有界系统最终都必须任意接近，并成为它以前所表现的状态。如果系统是稳定的，那么它未来发展就会任意接近于它过去的历史，即它将是准周期性的。对于大气层而言，关键的一点是，自大气层的状态第一次被观测到以来，是否一定出现过相似(analogues)。所谓相似，我们具体指的是大气层的两个或两个以上的状态，连同其环境，它们相互之间非常接近，以至于差异可以归因于观测的误差。因此，要形成相似，两个状态必须在观测准确和丰富的地区非常相似，而在根本没有观测的地区，无论是这些地区的大气层还是环境，它们不需要完全相似。然而，如果在连续观测状态的中隐含着一些未被观测到的事实，那么，两个连续的状态必须非常近似才能相似。
如果说自大气观测首次开始以来，确实发生过两次相似，那么，既然没有观测到大气是周期性的，那这些相似发生之后的大气状态，最终肯定是不同的，并且任何预报方案都不可能两次都给出正确的结果。（译者注：以相似时状态进行预报，因为相似状态最终变为两种不同的状态，而预报对于同样的初态，只能给出一种预报结果）相反，如果这期间没有发生相似，那么，利用目前已有的观测资料，可能存在某种准确的极长期预测方案。但是，如果确实存在的话，大气层将获得一种准周期性行为，一旦出现相似，就永远不会消失。不过，即使极长期预报是可行的，如果可能的大气状态的种类非常多，以至于相似永远不发生，这种准周期性的行为也不需要建立。应当指出，这些结论并不取决于大气是否具有确定性。
还存在一个非常重要的问题，即 "极长期 "有多长。我们的结果并没有给出关于大气的答案，可以想象，它可能是几天或几个世纪。在一个理想化的系统中，无论是本文描述的简单对流模型，还是设计成尽可能接近大气的复杂系统，通过比较具有几乎相同初始条件的一对数值解，就可以得到答案。在真实大气的情况下，如果所有其他预报方法都失败了，我们可以等一个相似出现。
鸣谢
作者感谢 Barry Saltzman 博士提请他注意对流方程非周期解的存在。特别感谢 Ellen Fetter 小姐，她处理了许多数值计算，并准备了数值资料的图示。
参考文献
- Birkhoff, G. O. , 1927: Dynamical systems. New York, Amer. Math. soc., Colloq. Publ., 295 pp.
- Ford, L. R. , 1933 : Differential equations. New York, McGraw-Hill, 264 pp.
- Fultz, R. R. Long, G. V. Owens, W. Bohan, R. Kaylor and J. Weil, 1959: Studies of thermal convection in a rotating cylinder with some implications for large-scale atmospheric motions. Meteor. Monog, 4(21), Amer. Meteor. Soc., 104 pp.
- Gibbs, J. W., 1902: Elementary principles in statistical mechanics. New York, Scribner, 207 pp.
- Hide, R., 1958: An experimentai study of thermal convection in a rotating liquid. Phil. Trans. Roy. Soc. London, (A), 250, 441_478.
Lorenz, E. N., 1960: Maximum simplification of the dynamic equations. Tellus, 12, 243—254.
- 1962a : Simplified dynamic equations applied Lo the rotating-basin experiments. J. almas. Sci., 19, 39—51.
- 1962b: The statistical prediction of solutions of dynamic equations. Proc. Internal. Symposium Numerical Weather Prediction, Tokyo, 629-635.
- Nemytskii, V. V. , and V. V. Stepanov, 1960: Qualitative theory of differential equations.Princeton, Princeton Univ. Press, 523 pp.
- Poincaré, H. , 1881: Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle. J. dg Malh., 7, 375—442.
- Rayleigh, Lord, 1916: On convective currents in a horizontal layer of fiuid when the higher temperature is on the under side. Phil. Mag., 32, 529-546.
- Saltzman, B., 1962 : Finite amplitude free convection as an initial value problem—I. J. atmos. Sci., 19, 329—341.