天下学问,惟夜航船中最难对付。

常微分方程

常见的几类一阶方程及解法

1. 可分离变量的方程

$$ \frac{dy}{dx}=f(x)g(y) $$

求解该方程的方法是将原方程改写成

$$ \frac{dy}{g(y)}=f(x)dx\quad (g(y)\ne0) $$

然后再两端积分 $\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$ ,求得原方程的通解。

2. 齐次方程

$$ \frac{dy}{dx}=f\left(\frac{dy}{dx}\right) $$

求解该方程的方法是作变量代换 $\frac{y}{x}=u$ ,则 $y=xu$,$\frac{dy}{dy}=u+x\frac{du}{dx}$ ,代入原方程化为可分离变量的方程

$$ \frac{du}{f(u)-u}=\frac{dx}{x} $$

然后求解。

3. 线性方程

$$ \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) $$

线性方程的通解是

$$ y=e^{-\int P(x)dx}\left(\int Q(x)e^{\int p(x)dx}dx+C\right) $$

4. 伯努利方程

形如

$$ y'+p(x)y=Q(x)y^n \quad (n\ne0,1) $$

称为伯努利方程。

求解方法为:现将原方程改写成

$$ y^{-n}y'+p(x)y^{1-n}=Q(x) $$

然后令 $u=y^{1-n}$ ,将原方程化为一阶线性微分方程

$$ \frac{1}{1-n}\cdot \frac{du}{dx}+p(x)u=Q(x) $$

再代一阶线性微分方程的通解公式求其通解。

5. 全微分方程

如果方程 $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ 的左端是某个函数 $u(x,y)$ 的全微分

$$ du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy $$

则称该方程为全微分方程。此方程通解为

$$ u(x,y) = C $$

求 $u(x,y)$ 有一下三种方法

  1. 偏积分
  2. 凑积分
  3. 线积分

当 $P(x,y),Q(x,y)$ 在单连通域G内具有一阶连续偏导数时,方程

$$ P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 $$

是全微分方程的充要条件是

$$ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} $$

可降价的高阶微分方程

$y^{(n)}=f(x)$ 型

原方程两端反复对x积分,便可求得原方程的解

$y''=f(x,y')$ 型(不含显y)

做变换 $y'=p$,则

$$ y''=\frac{dp}{dx} $$

代入原方程得以下一阶方程

$$ \frac{dp}{dx}=f(x,p) $$

解此一阶方程得到原方程的解。

$y''=f(y,y')$ 型(不含显y)

变换 $y'=p$, 则

$$ y''=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx} = p\frac{dp}{dy} $$

代入原方程得以下一阶方程

$$ p\frac{dp}{dy}=f(y,p) $$

解一阶方程得原方程的解。

高阶线性方程

线性方程解的结构

齐次方程解的结构

齐次方程 $y''+P(x)y'+Q(x)y=0$ 的通解为

$$ y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x) $$

其中 $y_1(x),y_2(x)$ 为该齐次方程的两个线性无关的特解, $C_1,C_2$ 为两个任意常数。

非齐次方程解的结构

非齐次方程 $y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x)$ 的通解为

$$ y=Y(x)+y^*(x) $$

其中 $Y(x)$ 为该非齐次方程对应的齐次方程的通解,$y^*(x)$ 为该非齐次方程的一个特解。

线性方程解得叠加原理

若 $y_1^*(x),y_2^*(x)$ 分别是方程

$$ y''+P(x)y'+Q(x)y'=f_1(x)\\ y''+P(x)y'+Q(x)y'=f_2(x) $$

的特解,那么 $y_1^*(x)+y_2^*(x)$ 就是方程

$$ y''+P(x)y'+Q(x)y'=f_1(x)+f_2(x) $$

的一个特解,可推广到n阶方程

线性常系数微分方程求解

线性常系数齐次方程求解

二阶常系数其次线性方程 $y''+py'+qy=0$ 的通解,使用特征方程的两个根求解。

因为 $y=e^{rx}$ 的各阶导数之间只相差一个系数,所以尝试是否有适当的 $r$ 满足以上二阶常系数齐次线性方程。

$$ y' = re^{rx}\quad y''=r^2e^{rx} $$

代入原式有

$$ \begin{aligned} r^2e^{rx}+pre^{rx}+qr^{rx}&=0\\ (r^2+pr+q)e^{rx}&=0\\ (e^{rx}\ne 0)\Rightarrow r^2+pr+q&=0 \end{aligned} $$

可见,只要r满足以上方程,$y=e^{rx}$ 就是微分方程的解,把 $r^2+pr+q=0$ 称为特征方程

特征方程两根 $r_{1,2}$ 可以用公式

$$ r_{1,2} = \frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2} $$

求出,有三种不同的情况:

  1. 当 $p^2-4q>0$ ,两个不相等实根

    $$ r_1 =\frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2}\quad r_2=\frac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2} $$

  2. 当 $p^2-4q=0$ ,两个相等实根

    $$ r_1=r_2=-\frac{p}{2} $$

  3. 当 $p^2-4q<0$ ,一对共轭复根

    $$ r_1=\alpha+\beta i,\quad r_2=\alpha-\beta i \\ \alpha=-\frac{p}{2},\quad \beta=\frac{\sqrt{4q-p^2}}{2} $$

特征方程 $r^2+pr+q=0$ 的两个根 $r_1,r_2$微分方程 $y''+py'+qy=0$ 的通解
两个不相等的实根 $r_1,r_2$$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$
两个相等的实根 $r_1=r_2$$y=(C_1+C_2x)e^{r_1x}$
一对共轭复根 $r_{1,2}=\alpha\pm\beta i$$y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$

以上推广到 n 阶常系数齐次线性方程

$$ y^{(n)}+p_1y^{(n-1)}+p_2y^{(n-2)}+\cdots+p_{n-1}y'+p_ny=0 $$

特征方程根微分方程通解中对应项
一个单独实根 $r$对应一项$Ce^{rx}$
$k$ 重实根 $r$对应 $k$ 项 $e^{rx}(C_1+C_2x+\cdots+C_kx^{k-1})$
一对单复根 $r_{1,2}=\alpha\pm\beta i$对应两项 $e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$
一对 $k$ 重复根 $r_{1,2}=\alpha\pm\beta i$对应 $2k$ 项 $e^{\alpha x}[(C_1+C_2x+\cdots+C_kx^{k-1})\cos\beta x+(D_1+D_2x+\cdots+D_kx^{k-1})\sin\beta x]$

线性常系数非齐次方程求解

二阶线性常系数非其次线性方程的一般形式是

$$ y''+py'+qy=f(x) $$

求其通解的关键是求的该非齐次方程的特解 $y^*$ ,对一下两种非齐次项可用待定系数法求的非齐次方程的一个特解

  1. $f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)$ 型($\lambda$ 为已知常数, $P_m(x)$ 为x的m次已知多项式)

    其待定特解为

    $$ y^*=x^ke^{\lambda x}Q_m(x) $$

    其中 $k$ 是特征方程根的重数, $Q_m(x)$ 为系数待定的x的m次多项式

  2. $f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)\cos\omega x+P_n(x)\sin\omega x]$ 型($\lambda$ 为已知常数,$P_l(x),P_n(x)$ 为x的l、n次的已知多项式)

    其待定特解为

    $$ y^*=x^ke^{rx}[R_m^{(1)}\cos\omega x+R_m^{(2)}(x)\sin\omega x] $$

    其中 $k $ 是特征方程根 $\lambda\pm i\omega$ 的重数,$R_m^{(1)},R_m^{(2)}$ 为系数待定的m次多项式,$m=\max(l,n)$

添加新评论