向量运算

设 $\boldsymbol{a} = \{a_x,a_y,a_z\}$

数乘运算

$$ |\lambda\boldsymbol{a}| = |\lambda||\boldsymbol{a}|\\ \lambda \boldsymbol{a} = \{\lambda a_x,\lambda a_y,\lambda a_z\} $$

数量积（点乘）

$$ \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}= |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta,\quad \theta=\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z $$

运算规律

• $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a}$
• $\boldsymbol{a} \cdot (\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}) = \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c}$
• $(\lambda\boldsymbol{a}) \cdot \boldsymbol{b} = \lambda(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})$

应用

• 求向量的模：$|\boldsymbol{a}|=\sqrt{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}}$
• 求两向量夹角余弦：$\cos\theta =\frac{\boldsymbol{a\cdot b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}$
• 判定两向量垂直：$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}\iff\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$

向量积

$$ |\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\sin\theta $$

$$ \boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b} = \begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{vmatrix} $$

运算规律

• $\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=-(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{a})$
• $\boldsymbol{a}\times(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{c}$
• $(\lambda\boldsymbol{a})\times\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}\times(\lambda\boldsymbol{b})=\lambda(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})$

应用

• 判定两向量平行：$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}\iff\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=0$

混合积

定义 $(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}$ 为三个向量的混合积，记为 $(\boldsymbol{abc})$

$$ (\boldsymbol{abc})= \begin{vmatrix} a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z\\ c_x&c_y&c_z \end{vmatrix} $$

运算规律

• 轮换对称性：$(\boldsymbol{abc})=(\boldsymbol{bca})=(\boldsymbol{cab})$
• 两向量互换，混合积变号：$(\boldsymbol{abc})=-(\boldsymbol{acb})=-(\boldsymbol{cba})=\cdots$

应用

• 求以$\boldsymbol{a,b,c}$ 为棱的平行六面体体积：$V_{平行六面体}=|(\boldsymbol{abc})|$
• 判定三向量共面：$\boldsymbol{a,b,c}共面\iff (\boldsymbol{abc})=0$

平面与直线

平面方程

1. 一般式方程

$$ Ax+By+Cz+D=0 $$

$\boldsymbol{n}=\{A,B,C\}$为平面的法向量，其中A、B、C不全为零

2. 点法式方程

$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$$

其中 $(x_0,y_0,z_0)$为平面上任意取定的一点，$\boldsymbol{n}=\{A,B,C\}$为平面的法向量，A、B、C不全为零

3. 截距式方程

$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$$

其中A、B、C分别为平面在三个坐标轴上的截距且均不为零

直线方程

1.一般式方程

$$ \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\\ \end{cases} $$

该直线为两平面的交线，且$\{A_1,B_1,C_1\}$ 与$\{A_2,B_2,C_2\}$ 不共线。

2.对称式方程

$$ \frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n} $$

其中$\{x_0,y_0,z_0\}$为直线上任取一点，$\boldsymbol{s}=\{l,m,n\}\ne\boldsymbol{0}$为直线的方向向量

3. 参数式方程

$$ \begin{cases} x=x_0+lt\\ y=y_0+mt\\ z=z_0+nt \end{cases} $$

其中$\{x_0,y_0,z_0\}$为直线上任取一点，$\boldsymbol{s}=\{l,m,n\}\ne\boldsymbol{0}$为直线的方向向量

平面与平面的关系

设平面$\Pi_1,\Pi_2$为

$$ \begin{cases} \Pi_1 : A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ \Pi_2 : A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\\ \end{cases} $$

1. 平面$\Pi_1//\Pi_2\iff \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$，若某项分母为零，则对应的分子也为零
2. 平面$\Pi_1\perp\Pi_2 \iff A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0$

3. 平面$\Pi_1,\Pi_2$ 夹角$\theta$为

   $$ \cos\theta=\frac{|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}\quad(0\le\theta\le\frac{\pi}{2}) $$

直线与直线的关系

设直线$L_1,L_2$为

$$ \begin{cases} L_1:\frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1}=\frac{z-z_1}{n_1}\\ L_2:\frac{x-x_2}{l_2}=\frac{y-y_2}{m_2}=\frac{z-z_2}{n_2} \end{cases} $$

1. 直线$L_1//L_2\iff\frac{l_1}{l_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}$，若分母为零，对应分子也为零
2. 直线$L_1\perp L_2\iff l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2=0$

3. 直线$L_1,L_2$的夹角$\theta$为

   $$ \cos\theta=\frac{|l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2|}{\sqrt{l_1^2+m_1^2+n_1^2}\sqrt{l_2^2+m_2^2+n_2^2}}\quad(0\le\theta\le\frac{\pi}{2}) $$

平面与直线的关系

设平面$\Pi:Ax+By+Cz+D=0$，直线$L:\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$ 则

1. $\Pi//L\iff Al+Bm+Cn=0$
2. $\Pi\perp L\iff\frac{A}{l}=\frac{B}{m}=\frac{C}{n}$，分母为零，对应分子为零

3. $\Pi,L$的夹角$\theta$为

   $$ \sin\theta=\frac{|Al+Bm+Cn|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{l^2+m^2+n^2}}\quad(0\le\theta\le\frac{\pi}{2}) $$

点到平面距离公式

点$(x_0,y_0,z_0)$到平面$Ax+By+Cz+D=0$的距离为

$$ d=\frac{|Ax_x+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} $$

点到直线距离公式

点$(x_0,y_0,z_0)$到直线$\frac{x-x_1}{l}=\frac{y-y_1}{m}=\frac{z-z_1}{n}$的距离为

$$ d=\frac{\{x_1-x_0,y_1-y_0,z_1-z_0\}\times\{l,m,n\}}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}} $$

两不相交直线间公式

设直线$L_1,L_2$的方向向量分别为$\boldsymbol{s_1}=\{l_1,m_1,n_1\},\boldsymbol{s_2}=\{l_2,m_2,n_2\}$，点$A\in L_1$，点$B\in L_2$，则两直线间距离为

$$ d=\frac{|(\boldsymbol{s_1s_2})\overrightarrow{AB}|}{|\boldsymbol{s_1}\times\boldsymbol{s_2}|} $$