Lilidream

807 分类: 日常

高数3:一元函数积分学

定理、公式

变上限函数对上限变量求导

设$f(x)$在$[a,b]$上连续,则
$$\begin{pmatrix}\int_a^xf(t)dt\end{pmatrix}'_x=f(x)\quad,\quad x\in[a,b]$$
$\int_a^xf(t)dt$是$f(x)$的一个原函数,从而有
$$\int f(x)dx=\int_a^xf(t)dt+C$$

牛顿-布莱尼次定律

$$\int_a^bf(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)$$

基本积分方法

第一换元法

设$f(u)$连续,$\varphi(x)$具有连续的一阶导数,则有公式:
$$\int f(\varphi(x))\varphi'(x)dx = \int f(\varphi(x))d\varphi(x)$$
令$\varphi(x)=u$:
$$\int f(u)du = F(u)+C = F(\varphi(x))+C$$

第二换元法

$$\int f(x)dx \overset{x=\varphi(t)}{===}\begin{pmatrix}\int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt\end{pmatrix}_{t=\psi(x)}$$
其中右边表示对$t$积分后再以$x=\phi(t)$的反函数$t=\psi(x)$代回成$x$的函数.

$\sqrt{ax+b}$型的使用第二换元法计算,$\sqrt{x^2\pm a^2}$,将x换成三角函数计算

分部积分法

$$\int u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)dx$$

$$\int u(x)dv(x) = u(x)v(x) - \int v(x)du(x)$$

反常积分

两个重要反常积分
$$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx = 2\int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt\pi$$
设$a$,$b$都是常数,且$a>1$,则
$$\int_0^{+\infty}\frac{dx}{x(\ln{x})^p}=\begin{cases}收敛,p>1 \\ 发散,p\leq1\end{cases}$$

定积分的应用

平面曲线弧长

参数方程定义曲线$\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases},\alpha\leq t\leq\beta$ 的弧长
$$s = \int_\alpha^\beta\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}dt$$
直角坐标方程$y=y(x),a\leq x \leq b$的弧长
$$x=\int_a^b\sqrt{1+y'^2(x)}dx$$

旋转体体积

  1. 曲线$y=y(x)$ 与 $x=a,x=b$,x轴围成的曲边梯形围绕x轴旋转的体积

$$V = \pi\int_a^by^2(x)dx,a<b$$

  1. 曲线$y=y_2(x),y=y_1(x),x=a,x=b$,x轴围成的曲边梯形围绕x轴旋转的体积

$$V = \pi\int_a^b[y_2^2(x)-y_1^2(x)]dx,a<b$$

  1. 曲线$y=y_2(x),y=y_1(x),x=a,x=b$,x轴围成的曲边梯形围绕y轴旋转的体积

$$V = 2\pi\int_a^bx[y_2(x)-y_1(x)]dx$$

旋转曲面面积

在区间$[a,b]$上的曲线$y=(x)$的弧段绕x轴旋转一周所形成的旋转曲面面积
$$S = 2\pi\int_a^b |y| \sqrt{1+f'^2(x)}dx,a<b$$
参数方程$\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases},\alpha\leq t\leq\beta$定义下
$$S = 2\pi\int_a^b |y(t)| \sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}dt$$

函数的均值

设$x\in[a,b]$ , 函数$f(x)$在$[a,b]$上的平均值为
$$\overline{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx$$

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作者: Lilidream

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